無限ミウラ折り

ここ2週間ほど小学生や本校生徒を対象に
科学（算数・数学）講座を実施していました
その中のテーマの一つが数学折り紙
特に「ミウラ折り」という折り方です。

ミウラ折りに関する話を色々しているうちに
ふと、

「有限の紙の中で無限個のミウラ折りを
（螺旋状のパターンを使って）収束させる
ことが出来るか？」

という疑問が浮かびました。少し考えてみよう
と思います。

あと、折り紙は通常直線で折っていくのですが
最近「曲線折り」という折り方が、広く知られる
ようになってきました。これに関して

「双曲幾何学が曲線折りを定式化するのに
使えないか？」

という妄想（こちらは上の問いほど具体性がないので）
が浮かんできました。
このアイディアも温めておこうと思います。

科学講座台本（組みひも細工）２

では、次に２本のスリットの入ったフェルトの帯を
お渡しします。

これの下の部分を向こうからこちらに左のスリット
を通してやると、どうなるでしょうか。
各バンドの中心線の部分は、どうなるかを先ず考え
てみましょう・・・
どうなるのか見えましたか。

そのとおり、この絵のようになりますね。
では今度は下の部分を前から右のスリットを通して
やると、そして前から左のスリット、最後に後ろから
右のスリットを通してやると、このような
図形になりますね。
では紙を配りますので、ちょっと見てください。

これは三つ編みになっていますね。

この時の各バンドのねじれはどうなっているか
計算してみましょう。

一回目のスリットの通過では、こことここには１、
ここには−１がつきます。
二回目の通過では・・・

では各バンドについて数字を足してください。
０になりました。

このことを実際にスリットの入ったフェルトを
編んで確かめましょう、

科学講座台本（組みひも細工）

今回は伝統的な工芸品である組みひもについて
お話ししたいと思います。

組みひもというのは、このように何本かの
ひもを編んでできる装飾品です。

このような装飾の中で一番単純なものの一つ
としてお正月のおせち料理のなかの一つの
飾りこんにゃくがあります。

まず飾りこんにゃくの模型を作ってみましょう。
ここにスリットの入った長方形の紙があります。
このスリットの下のところを手前からむこう
に向けてスリットの中を通してやります。
そうするとこんな図形が出来ます。
この図形は上の部分と下の部分が2本の
帯でつながれています。
この帯は右と左では違って見えますね、
この違いをどう表現すればよいでしょうか。

上から見たとき左の帯は時計回りに、
右の帯は反時計回りに回っています。

そこで時計回りに回ってり帯には数字１、
反時計回りに回っている帯には数字−１
を当てることにして、帯はまっすぐな一本の
線で描くことにします。

つまりこのようにまっすぐな２本の
ひもがあって左のひもには１、右のひもには
−１が当てられている、というわけです。

科学講座用台本（ひも編みの交代パターン）３

では、次に２つの曲線ではどうでしょうか。
またうまくできるでしょうか。上下、上下・・・といった
具合になるよう交差に上下をつけていきます。
これはちゃんと全体に矛盾なく決まるでしょうか。

これは３つの曲線（丸）が重なってできる図形に
今のような上下上下のパターンで交差を通過
していくようにしたものです。
この図形はボロミアンリングと呼ばれています。
これはイタリアの貴族ボロメオ家の紋章として
使われていたそうです。

ではここでちょっと別の話をします。
また下記の上に自分の好きな曲線を描いてください。
今度はこの曲線で分けられた領域をチェッカーﾎボードの
パターンに塗り分けていきます。
（チェッカーボードのパターンに塗り分けるというのは、
色のついた領域同士が線で交わることはない、また、
各頂点の周りには、色のついた領域がちょうど２つ
見えている、という意味です。）

このような塗り分けはいつでもできるでしょうか。

・・・
どうもできそうですね。

曲線がひもでできていると考えて、いつも
上下上下・・・のパターンで交差点でのひもの上下がつく、
ということと、曲線で区切られた領域がチェッカーボード
パターンで塗り分けられることの関連について
なにか気が付いた人はいないでしょうか。

（領域のふちにのこぎりのようにギザギザになるように
ひもの上下を定めれば・・・）

科学講座用台本（ひも編みの交代パターン）２

このようひもが交わるところを「交差点」と
呼ぶことにします。
また「端」のある曲線を、開いた曲線、「端」の
無い曲線を閉じた曲線と呼ぶことにします。
「端の無い曲線」というのはどういうものか
わかりますか。
そう、ぐるっと回ってきて出発点に戻ってくる
曲線ですね。

では目の前の紙に好きな閉じた曲線を描いて
ください。

例えばこのような曲線です。では次にこの曲線が
やや太いひもで出来ていると考えて、交差のところ
にひもの上下をつけましょう。

このひもの上下のつけ方ですが、ひもをたどっていく
交差のところで上を通ったら次は下を通る、という
具合に上下上下が交互になるようにしてください。

このやり方で最後までうまくいくでしょうか。
最後が上上となってしまったり、下下となってしまう
ようなことはないでしょうか。

では実際に試してください。

科学講座用台本（ひも編みの交代パターン）

今日はひもを編んでできる様々な「交代的なパターン」
についてお話ししてみたいと思います。

まず皆さんにお絵かきをしてもらいますが、その為の
言葉を準備しておきましょう。
鉛筆で紙の上に線を描いてください。
数学的にはこのような線のことを曲線と呼ぶことに
します（曲線は必ずしも曲がっていなくても構いません。）

このとき線は自分と交わっても構わないことにします。
但し、数学的な取り扱いをするたために、
・同じ点を３回以上線が通ることは無い
・線が交わるときは互いに相手を横断するように
交わる、
とします。

台本（折り紙）, English version 2

A numbered strip

Please take your scissor, and cut out a strip of paper
numbered 1,2,3, and 4.

OK let's review a bit about high school mathematics.
Do you know how many ways of arranging four numbers 1,2,3,4
in line.

Yes it is the numbers of permutations of the numbers, and
it is the fractorial of 4, denoted by 4 !(階乗),
which equals to 24. This is the numbers of permutations
（順列）of 1,2,3,4.

(Write down the 24 patterns on the black board.
An important idea here is exhaustion. )

By folding the strip you can pile up the numbers 1 to 4.
For example, by folding in this manner you can obtain,
the piling pattern 1,2,3,4 form top to bottom.

Then let me ask you a question.
The question is: among the 24 patterns of the permutations,
which one can be realized by folding the strip ?

Please try, and tell me if you can realize it.
I will check the pattern on the board.

For example, if you consider the pattern 1423.
This pattern seems not to be able to realize.
Is there anyone who can make an explanation of the fact ?
(A key is to consider the cross section.)


You first place the numbered segments in that order
from top to bottom.

−−−−−１−−−−−−−
−−−−−４−−−−−−−
−−−−−２−−−−−−−
−−−−−３−−−−−−−


Then try to join  endpoints of the segments with
short vertical arcs according to the order given by
the numbers.

OK, then here is a 2-dimensional version of the question.

Please take a look at the pattern.
Can you fold the pattern with following the pattern,
of course not tiering the paper ?

Actually this is related to the problem:
Find an efficient way of deciding
whether it can be folded or not.
This problem is not solved yet, which means that
it is a frontier of Mathematics.

台本（折り紙）：English version

Origami is an art form with roots in Asia (might be in Japan)
more than 1,000 years.

When you fold a sheet of paper in half, you create a straight-line,
called "crease".

There are two kinds of crese.
One is created from by "mountain fold", and
the other is created from "valley fold".

I think you know the Japanese expressions of each.

I will use a dashed(green) line ------ to indicate a valley fold,
and a dash-dot(red) line _._._._. to indicate a mountain fold.

Here is an example
I think you can fold the pattern.

It is easy, isn't it.

Ok I will give you some examples.
Please try by yourself.

Then I will give a formulation for more restricted
way of folding paper.
We say that the folding is a flat folding, if you can
make the result of the folding flat, that is, it is
flattened on a plane (or, in a table table).

Let me ask. Among those examples that you have,
which one is a flat folding?

Then I will pose a question. Let's think about it together.
Please take a paper of this pattern.
(Four mountain creases meeting in a vertex. )
The question is to introduce valley creases
(mountain crease is not allowed).
A typical solution is this.
Let me ask: can you find other patterns ?

You think you could find all of the patterns ?
(This a kind of exhaustion problem. )

Is there any one who can give an explanation
why these are all?


=================

In the next stage, I will add more restrictions on
flat folding.

That is during the process
from one paper to the final flat position　wa have to
keep each face bounded by creases flat.
Just imagine that each face is made of hard materials
like iron.
Let us call such folding a rigid folding.

Can there be a rigid folding ?
Let us think about this question.
Please take a strip in fron of you.
Can you fold it in this manner ?

The next is what is called Miura folding.
This is a folding pattern of Miura folding.
Before folding it by yourself, please try to imagine,
the outcome, I mean, the image of the folded paper.

Miura folding is known as an efficient way of
folding maps.

Let mee try to convince you that Miura folding is a
natural way of folding.

Let us think about folding patterns of a long thin
square, which looks like a paper bag for wood
chopsticks served in restaurants.
From the left side you have a mountain crease, and
from the right side you have a valley crease.
The question is:
Find out the simplest way for joining the creasese
in the middle of the square.
Please tell me if you can do it, and try to explain.

OK, for the explanation of the next stage,
please cut the folding pattern of Miura folding
along the middle line into two equal two pieces.

Next, please fold the piece.
Can you catch the idea that it is a sequence of
the previous simple folding above.

Then try to put the pieces side by side.
It will give the Miura folding.

I hope you have caught the idea, and
I am hoping you something more:
that is to expand the idea of Miura folding
for more general settings.
For example, does the quadrangle in the pattern
must be the same ?
Well, the truth is that the situation is more flexible.


Here is another example, something artistic.
It is called Roert Lang's Oval Tessellation

Please try.

小学生講座（折り紙）４

紙を横からみると、こんな具合に線のように見えますよね。
線をこんなふうに折り曲げて考えると、この番号の並びが
折れるかどうかわかりますよね。
なんとなく、これでうまくいくきもしますが、皆さんは
この方法でもういいですか。
もっとうまい方法はないでしょうか。

例えば番号が１４２３だったとします。
まず１の線を横に書いて、その下に４の線を書いて、
その下に２の線を書いて、最後に３の線を描きます。
これがうまくつながるように、１，２，３，４の順に
線の端を縦線でを次々とむすんでいくと
・・・・

−−−−−１−−−−−−−
−−−−−４−−−−−−−
−−−−−２−−−−−−−
−−−−−３−−−−−−−

うまくいきませんよね。この方法はどうですか。

小学生講座（折り紙）３

では、つぎの話をしましょう。
数字の１，２，３，４を左から一列に並べる並べ方を
全部かけるでしょうか。
例えば１，２，３，４それから４，３，２，１、他に
２，３，４，１　まだあるでしょうか。
・・・
このならびかたは全部でしょうか。
全部だということが説明できる人はいますか。


では次にこの紙を取り出してください。横に長い
紙で１、２，３，４が書かれた四角形が横に並んでい
ますね。（ちょうど４枚つながった切手のようです。）
この４角形が繋がっている所で紙を折って折りたたむ
ことを考えます。

折りたたんだ紙を上から見てください。例えば
この紙だと１地上は１，次は２，そして３，４と
１，２，３，４とうえから並んでいますね。
では他の折り方で別ん順番に番号が並ぶように
してみてください。

できたのを言ってください。ここで確かめますね。
出来なかった並びが有りますね。
これは本当に出来ないのでしょうか。
出来ないということを説眼出来る人はいますか。

説明するにはどうしたら良いでしょうか。
（→断面図の考え方）

森元予想（５）

私自身はものを作ってそれを実際に動かすことに憧れをもっていますが最近この
様な気持ちを数学に取り入れてみようかと考えています。次の写真は博最近Uさん
と一緒にやっている流体のかき混ぜに関する実験のものです。

さてこの円環状領域の中に入った流体を内側の円版に付けられたロッドでかき混
ぜてゆくとこのような層状のパターンに収束してゆく様子が見て取れます。
このパターンが実は擬アノソフ写像の安定葉層に対応しているのではないかと
いう感触（これは期待も込めて言っています）を持っていますが厳密な証明は
できていません。現在はこのようにちょっと数学の社会からはみ出てそこに

あるものを楽しむという研究も少しずつですが始めています。

森元予想（４）

2006年の年末にまた奈良に来ていたRieck氏はこのことに気がついて結局森元予想には反例が存在することが明らかになるわけです。因みにここでポイントになったのでは森元予想の反例を作るためには無限の操作を要する増大度よりももっと弱く、「十分大きな数に対して増大度もどきが1/2より大きな結び目を作ればよい」ということでした。

ところでこのような例の構成にあたって使われた概念として擬アノソフ写像と呼ばれるものがあります。

擬アノソフ写像について紹介したいと思います。（ここからの話は極端に専門的になります）そのためにまずアノソフ写像の説明から始めましょう。2次元ユークリッド空間を整数格子でわった空間は2次元トーラス ですが、このユークリッド空間を2次元線形空間とみなしてその上の線形写像を考えるとそれは整数を成分とする2次の行列で表示されます。このときこの行列の行列式の値が1でその固有値が二つとも正であるとすると、この固有空間に対応するトーラス上の直線はトーラスに稠密に巻きつく1次元空間に射影されます。このうち1よりも大きい固有値に対応する1次元空間はこの写像の安定葉層構造、1よりも小さい固有値に対応する1次元空間は不安定葉層構造と呼ばれます。この安定葉層構造が1よりも大きな固有値の固有空間に対応していることから トーラス上の任意の本質的な閉曲線をこの写像で繰り返し写してゆくとその像は次第に安定葉層構造に似てくることがわかります。
さて向き付けられた閉曲面はトーラスのほかにこのような種数が2以上のものが存在しますが、1970年代Thurstonはこのような曲面にもアノソフ写像と同様な性質をもつ写像が存在することを示しました。この写像は擬アノソフ写像と呼ばれており現在に至るまで様々な分野の要として現れる重要な概念になっています。先ほど紹介しました、例の構成はこの擬アノソフ写像の理論を使ってなされます。

森元予想（３）

これは結び目 に対して




 




という量をその結び目のトンネル数の増加度と呼び、この論文の中で
その性質を調べています。そこから導かれた結果として非常に面白か
ったのは：

もしも小さな結び目でその増加度が1/2より大きなものが存在すれば
森元の予想の反例を構成できる（’’小さな結び目’’の定義は省略さ
せてもらいます）

というものです。実は森本‐作間‐横田の結び目は増加度が丁度1/2に
なることがごく最近証明されましたが（実は、まだ少しだけ不確実な
点が残っているのですが）、この結果は森元‐作間‐横田の与
えたものよりちょっとでも増加度の意味で複雑な結び目が存在すれば、
森元の予想の反例が作れるというもので、このあたりから森元の予想が
私たちにとって手に届く問題になってきたのです。ただしこの増加度が1/2
より大きな結び目が存在することの証明についてはどうやってよいのか
わからないという状態でした。そこで私たちはこの論文の中でこのような
結び目が存在したとしたらそれらが満たすべき条件をあげてこのような
結び目は存在するのか？という問題を挙げたのです。自然な問題だとは
思いますがこの問題が解けるのにどれくらい時間がかかるのか私には
まったく見当がつきませんでしたが事態はその後急展開します。私たちの
論文が発表されて間もなく、Munoz, Johnson-Thompson, Minsky-Moriah
-Schleimerという一人と二つのグループが立て続けにこの問題の条件を
満たすような結び目の存在を証明したのです。この事実の証明に使われ
たのはHeegaard分解の距離と呼ばれる概念で、これは2001年の論文の
中でJohn Hempelという人が定義した概念で取り扱っている三次元多様体
の複雑さを非常によく反映する概念であることがその後明らかにされてゆ
きます。

Hempel, John. 3-manifolds as viewed from the curve complex. Topology
40 (2001), no. 3, 631--657.

と大体これが2006年中ごろの状況ですが、後で振り返ってみると実はこの
時点で森元の予想が解けるための条件は完全にそろっていたんですね。

森元予想（２）

私はこの予想は「たぶん肯定的に解けるのだろう」と漠然と考
えていましたが自分でこの問題にアタックする気持ちはあまり
なく、外からぼんやりと傍観していると、そんな感じだったわ
けです。ところで現在数学教室にアーカンソー大学の R 氏が
大学の数学教室に滞在されていますが、彼は最初2001年に
日本学術振興会の外国人特別研究員として女子大に滞在され、
その後も機会あるごとにこちらの教室に来られて私と共同で研
究を実施しています。彼とは2003年頃から3個以上の結び目を
連結和したときのトンネル数の振る舞いについて研究をしてい
たのですが、この研究の中で森元‐作間‐横田の結び目と呼ばれる
結び目を自分自身と連結和したときの不思議な現象を発見しま
した。この発見は大学から帰宅時、電車を降りて歩いている時
に突然気がついたものでこれが分かった瞬間かなり興奮したの
を憶えています。それは簡単に言うと森元‐作間‐横田の結び目
は自分自身と連結和した時は超加法的になるがこれを3個連結
和したときには超加法的にはならないというものです。これは
当時私が持っていたトンネル数の振る舞いに関する常識に反す
るもので、この一つの例をもとに導ける事実を調べることでR氏
と共同でいくつかの論文をものにすることができました。その
中の一つに結び目のトンネル数の増加度に関する研究がありま
す。

森元予想

森元予想
さて私が研究しているのは低次元のトポロジー特に三次元多様体論
とよばれるものです。具体的には、ひもが結ばれてできる結び目な
どがこの対象となります。今日はこの結び目の研究に関して私が最
近発表した一つの仕事についてご紹介したいと思います。

2000年にMathematische Annalenという雑誌に現在甲南大学におられ
る森元勘治さんという方が結び目に関する論文を発表されたのです
が、この中で森元さんは結び目のある性質に関する予想を提出され
ました。まず予想の内容を簡単に紹介しましょう。

Morimoto, Kanji On the super additivity of tunnel number of knots. Math. Ann. 317 (2000), no. 3, 489--508.



数学で取り扱う結び目というのはこの図のように両端を閉じた輪に
なっています。このような結び目が二つ与えられた時、それらの一
部をこの絵のようにつなぎなおすことにより新しい結び目を作るこ
とができます。このように結び目  、K1, K2 から新しくできた結び目
を「 K1 と K2  の連結和」と呼び K1 #K2  と表したりします。


結び目に対してはトンネル数と呼ばれる量、これは  t(K) とあらわし
ます、が対応します。このトンネル数は結び目の連結和に関して

t(K1 #K2) ≦ t(K1)+t(K2)+1

という不等式を満たすことが知られていますが、特に等式

t(K1 #K2) = t(K1)+t(K2)+1

を満たすときにトンネル数は超加法的である、と言います。このよう
な超加法的な結び目のペアが存在すること自体かなり驚異的なことで
この事実は1996年にやはり森元さんと、当時大阪大学におられた作間
さんと九州大学おられた横田さんという方々が共同で量子不変量と呼
ばれる概念を使って初めて証明されました。さて問題の予想ですが、
森元さんは論文の中でこの様にトンネル数が超加法的な結び目のペア
はある特別な性質を必ず持つということを証明され、さらにこの逆も
正しい、つまりこの結び目のペアがある特別な性質（1bridge genusが
トンネル数に等しい）持つならば必ずトンネル数は超加法的になると
いうことを予想されました。

揚鞭催馬運糧忙

揚鞭催馬運糧忙：

http://www.youtube.com/watch?NR=1&feature=endscreen&v=yz48_skbPGc

の説明より

"Busily Carting Public Grain" is a bangdi (small transverse
bamboo flute) solo composed in the early 1970s, during the
early days of China's Cultural Revolution. The piece describes the 

joy of a bountiful harvest in the countryside, as carts full of surplus 

grain are happily rushed to the market. This virtuosic composition 

is in ternary form, and displays northern-style extended techniques 

of the bamboo flute, including glissandi, flutter tonguing, portmento, 

double-tonguing and rapid scalar figurations.

「皆の穀物を忙しく車で運ぶ」

（「揚鞭催馬運糧忙」を直訳するなら、「鞭を上げて馬をせかして

穀物を忙しく運ばせる」でしょうか）は

中国文化革命のころお1970年代前半に独奏用に作曲された。

この作品は田舎の豊作の穀物ををいっぱい積んだ荷車が

喜びに満ちて市場に向けてかけてゆく様子を描いている。

この演奏に名人芸を要する作品は三人編成によるものであり、

竹横笛の北部地方において拡張された技巧（flutter tonguing, 

portmento, double-tonguing and rapid scalar figurations）を

見ることができる。

この曲をトリプルオカリナで吹いている人がいます。

http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=G-1VUtRGFzo

いわゆる「神演奏」と思います。

小学生講座「折り紙」（台本）２

では、少し練習問題です。

ここでは１頂点折というとても簡単な折り紙を
取り扱います。

皆さんのお手元に赤い線が４本緑の線が２本入った
折り紙をいくつか配ります。
ここではには６本の線（４本の赤、２本の緑）が
書かれていますね。

山谷がそこに書いてあるとおり折れるのか、
実際にやってみてください。

できたと思った人はわたしか、助手の
人に見てもらってください。

＝＝＝＝＝＝＝＝
では次に頂点折の中でも更に特別な平坦折という
折り方について紹介しましょう。

平坦折というのは折った紙がこのような机の上に
ぺたっとおしつけられるような、折り方のことです。

さっき折った中で平坦折というのはどれになるでし
ょうか。

では問題ですこのおりがみには互いに直角に交わる
４本の線が描かれています。これに２本の緑の線を
書き加えて平面折が出来るようにしてください。

小学生講座「折り紙」（台本）

今度、小学生向けに講座をすることになりました。

====================
折り紙は日本で1000年以上の歴史を持つ芸術です。
今日は折り紙を使って、ことばでいろいろなことを
あらわす、ことの勉強をします。

折れ線
皆さんの前に紙がありますね。この紙を半分におって
みてください。そうすると紙が折れた跡の線ができます。
この線のことを「折れ線」といいます。

山折、谷折り
いま上には表と裏があります。皆さんの前にある
折り紙で色のついているのが表、ついていないのが
裏です。紙をおるにはに表から見て折れ線が山になって
いるときと、谷になっているときの二通りのおりかた
があることがわかります。
山になっているような折り方を山折、
谷になっているような折り方を谷折り
といいます。ここでは山折りを青い線で
谷折りを赤い線で表すことにしますね。