講演台本（相似構造を用いた平坦折り紙の構成）（4）

またこの講演では折り紙の完成形 (folded origami) において各面は平らになっているとします。この様な形に実際に折れる時に、その展開図は「折れる（foldable）である」ということにします。

In this talk, we suppose:

In the folded origami each face is flat.

If a crease pattern is folded in this form, we say that it it foldable.

展開図で折れないものが存在することを注意しておきます。

例えば、この図の展開図は折れません。実際にこの展開図にしたがって折ろうとすると，各面が凹になってしまうことがわかるでしょうか。

Here we note that the given crease pattern cannot be necessary for describing the folded origami. For example, this crease pattern is not foldable, because we are assuming that each face should be flat. (Can you see that if you insist on this crease pattern, then each face of the completed origami must be concave.)

また折った結果が平面状になる折り紙のことを平坦折と呼ぶことにします（flat foldable）。

Further if the whole shape of the folded origami is flat, then we say that the origami  is flat foldable.  

講演台本（相似構造を用いた平坦折り紙の構成）（3）

Mathematical Formulation

数学的定式化

We start with a mathematical definition of origami in this talk.

まず、この講演における数学的折り紙の定義から始めたいと思います。

This is an origami crane, which are very famous in Japan. If you color the ridges of the folded origami black, and develop the origami paper, you will obtain this figure. More precisely, each edge in this figure should be should assigned with a character, that is, whether it is Mountain folding or Valley folding.

This figure is called the crease pattern. 

これは日本では有名な鶴の折り紙(origami crane：折り鶴)です。この折れているところ（ridge）に黒色をつけてやるとそれは元の正方形の紙の上ではこのような図形になっています。もう少し厳密に言うと，この図形の各辺にはそれが山折りであるか，谷折りであるかという属性を付加しておく必要があります．この講演では，山折り線には赤，谷折り線には緑の色をつけておくことにします．このような図形のことを展開図（crease pattern）と呼びます。

Well it may be reasonable to say that each origami could be determined by crease pattern, but the fact is that this is not enough at all for determining the folded origami. I will come to this problem later. I this talk, sorry to say but, I will take the standing point that crease pattern determines origami.

素朴にはこの展開図によって折り紙が定まっていると言えます。（厳密には、これは折り紙を定めるには全く不十分ですが、このことについては少し後で注意をします。）この講演ではこの展開図を用いて数学的定式化を与えることにします。

Traditional origami paper is a square shape but, in this talk, we will allow more complex (possibly, non-compact) region of Euclidean plane as a paper for origami. 

伝統的な折り紙は多くの場合、正方形の紙(:origami paper)から作られていますが、ここでは紙の形には制限を付けず、平面内の任意の領域（有界で無くても構わない）を紙とみなすことにします。

O.K. Let us summarize the formulation.

Let R be a connected region is the Euclidean plane, which plays a role of origami paper.

A crease pattern of origami is a locally finite 1-complex X properly embedded in R, where each 1-simplex is assigned with red or green, where red 1-simplex is referred as a Mountain fold, and green 1-simplex is referred as a Valley fold.With following the mathematical conventions, we call each 1-simplex an edge, and each 0-simplex a vertex, and each component of R setminus G a face.

 以上をまとめると次のようになります。

Rをユークリッド平面内の連結な領域としGをRにproperに埋め込まれた局所有限な1次元単体複体で各1-simplexには、赤か緑の色がassignされたものとします（ここで赤がaasignされた1-simplexは山折り線，緑がaasignされた1-simplexは谷折り線と呼ぶことにします）。数学の用語にしたがって各1-simplexのことを辺(edge), 0-simplex の事を頂点（vertex）と呼び、またR setminus Gの各成分の事を面（face）と呼ぶことにします。