a delta-hyperbolic space.
In fact,
Hyperbolic space Hn, is δ-hyperbolic. In particular, a simple
computation gives that Hn is hyperbolic with smallest hyperbolicity
constant δ = sinh−1(1).
双極的という名前から想像がつくと思いますが，双極空間H^nはδ=sinh−1(1)
に対してδ双極空間になっています．
OK. Here I would like to introduce the second subject.
ではここで次の話題に移ります．
Let F be a genus g (>1) closed orientable surface.
There are many interesting structures associated to F.
For example:
Mapping class group of F is the group consisting of the
automorphisms of F, which is often considered for studying
dynamical systems on S.
Fを種数（＞１）の向き付け可能な閉曲面とします。
Fには様々な興味深い構造を持っていることが知られています。
そのような構造の例として写像類群MCG(F)があります。
写像類群MCG(F) はFの自己同相写像がつくる群で、Sの力学系を調
べるためによく使われています。
In late 1970’s Harvey introduced the curve complex of F
denoted C(F) for studying the mapping class group, and this
concept turned out to be very useful. In fact it has been used
to prove many deep results (including the affirmative answer to
Ahlfors Conjecture).
が1970年台にHarveyによって導入され（1978）これは非常に強力な
証明の手法を提供することがわかりました。（例えばクライン群の極限
集合に関するAhlfors予想の肯定的解決はそのような成果の一つです。）
[Harv] W. J. Harvey. Boundary structure of the modular group.
In I. Kra and B. Maskit, editors, Riemann Surfaces and Related
Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference,
volume 97 of Ann. of Math. Stud. Princeton,
定義（曲線複体）
Fの曲線複体とはC(F)とは次のようにして得られる有限次元単体複体です。
・C(F)の各頂点はF上の本質的単純閉曲線のホモトピー類からなる。
・いまC(F)のN+1個の頂点が互いに交わらない単純閉曲線で実現できる
ときそれらの頂点はN単体をはる。
Complex of curves (: Curve complex)
Definition The complex of curves for F, denoted C(F), is a finite
dimensional simplicial complex, where the set vertices consists
homotopy class of essential simple closed curves on F. The N-simplices
of C(S) are given by collections of N + 1 vertices whose homotopy
classes can all simultaneously be realized disjointly on S.
d(a,b) = minimal number of 1-simplexes contained in simplicial paths i
n C(X) joining a and b.
The distance is a measure of how complicated the intersection of
representatives of these curves must be.
Then for sets A, B of vertices of C(F), the distance between them,
denoted by d(A, B), is defined by
d(A, B) := min {d(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
ここでC(F)の二つのvertices a,bに対してその間の距離d(a,b)をC(F)内でaとb
を結ぶsimplicial pathの個数の最小値、として定義します。この距離はF上の
二つの本質的単純閉曲線 a,bがどれくらい複雑に交わっているかを測る物差し
になっています. またA, BをC(F)のverticesの集合、とする時その間の距離
d(A, B)を次のよう定めます。
d(A, B) := min {d(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
More recently Masur and Minsky proved δ-hyperbolicity of the complex
of curves [MM1] and then used this to establish new methods for
studying the mapping class group [MM2].
その後Masur と Minskyにより曲線複体はδ-hyperbolicと呼ばれる性質
を持つことが示されました。更に彼らはこの事実を用いて写像類群の研究
のための新しい手法を導入しました。
[MM1] H. Masur and Y. Minsky. Geometry of the complex of curves I:
hyperbolicity. Invent. Math. 138 (1999), 103–149.
[MM2] H. Masur and Y. Minsky. Geometry of the complex of curves II:
hierarchical structure. Geom. & Funct. Anal. 10 (2000), 902–974
