Now we come to Part 2 of this talk. In Part
2, we introduce
Heegaard splitting of 3-manifold, and distance of Heegaard
splitting. Then we see how the δ-hyperbolicy of
curve complex
introduced in Part 1 is applied to distance of Heegaard
splitting.
ここでこの講演の第二部を始めることにします．ここでは三次元
多様体のHeegaard 分解とその距離について紹介し，この距離に
対して第一部で紹介した曲線複体のδ双極性がどのように役立つ
かを紹介します．
Let’s give the definition of Heegaard
splitting. First we give
a definition of the fundamental block of Heegaard
splitting.
We say that a connected 3-manifold is a
compression body,
if it is obtained from, possibly empty, closed surfaces cross
the unit interval and a 3-ball, by attaching 1-handles along
the surfaces cross
1 and the boundary of the 3-ball.
The minus boundary of the compression body
is the union
of the boundary components corresponding to the surfaces
cross 0,
and the remaining boundary component is called the
plus boundary of the
compression body. The genus of the
plus boundary is called the genus of the
compression body.
The compression body is called a handlebody
if the minus
boundary is empty.
ではHeegaard 分解の定義を与えることにします．いま連結な
三次元多様体がいくつかの閉曲面（空集合でも構わない）と単位区間
の積と，三次元球体から閉曲面×１と三次元球体の境界にいくつかの
１ハンドルを貼り付けて得られるとき，その三次元多様体を圧縮体と
呼ぶことにします．圧縮体に対してその境界成分で閉曲面×０に対応
する成分の和集合をその圧縮体のマイナス境界，またその残りの境界
成分をプラス境界と呼ぶことにします．またプラス境界の種数をその
圧縮体の種数と呼びます．特にマイナス境界が空集合であるとき，
その圧縮体のことをハンドル体と呼びます．
Let M be a compact orientable 3-manifold. A
decomposition of
M denoted by V_1 ∪ V_2 is called a
Heegaard splitting of M, if
each V_i is a compression body embedded in M such
that they
share plus boundaries in M. Then the shared plus boundary,
denoted by
F, is called a Heegaard surface.
We note that it is known that every compact
orientable 3-manifold
admits a Heegaard splitting.
いまコンパクトな三次元多様体Mが二つの圧縮体
V_1, V_2に，その
共通部分はそれぞれのプラス境界になっているように分解されている
時，この分解V_1∪V_2をMのHeegaard分解と呼ばします．このとき
この共通の境界（ここではFと書いています）をMのHeegaard曲面と
いいます．これは非常に単純に見える分解ですが，実は任意のMは
Heegaard分解を許容することが知られています．
Here is an alternate description of the
Heegaard splitting using
the mapping class group of the Heegaard surface F.
Here we
regard that the compression bodies V_1, V_2 exists independently,
and
the plus boundaries of them are identified by a self
homeomorphism of F, where
the domain is regarded as the plus
boundary of V_1, and the range is regarded
as the plus boundary
of V_2.
ところで，Heegaard 分解には，Heegaard曲面Fの写像類群を使った
別の視点が存在することを注したいと思います．この視点では圧縮体
V_1, V_2は独立して存在すると考えます．そして，Mはこれらのプラス
境界をある同相写像で同一視することによって得られると考えます．
この時この写像はF（：V_1のプラス境界）から F（：V_2のプラス境界）
への写像，つまりFの自己同相写像と考えます．このように考えれば，
Fの写像類群MCG(F)の元が与えられればそれに対応して三次元多様体が
決まることがわかります．このような視点を取るときにはFの自己同相
写像ｈを模してHeegaard分解を V_1∪_h V_2と表すことにします．
