この度、久しぶりに、国際研究集会で講演する機会をいただきました。
いま、講演の原稿をまとめているところですが、全体の3部のうちの
前半の２部は多くの方に興味を持っていただけると思いましたので、
ここに公開させていただきます。
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My talk consists of three parts. The first
part is a background
of the theme, and it treats two topics, one is
delta-hyperbolic
space and the other is curve compex.
The second is about Hempel distance of
Heegaard splitting
including the definition of Hempel distance. We will give
the
definition of Heegaard splitting of 3-manifold, and see how
the theory of
delta-hyperbolic space is applied to the theory
of distance of Heegaard
splitting by adopting a work of
Abrams-Schleimer. The last part is a quick explanation on the
main result.
私の講演は三部からから構成されています。第一部は今回のテーマの
歴史的な背景について述べており、二つの話題、具体的にはδ双極空
間と曲線複体の紹介をします。第二部ではδ双極空間が三次元の
Heegaard 分解の距離の理論に適用されるのか、Abrams-Schleimer
の論文を例に紹介することにします。そして第三部で今回の講演の主
結果について簡単に紹介します。
In early 1980’s Cannon, Gromov, and Rips
independently
introduced definitions of the phenomenon of a metric space
to be
hyperbolic.
1980年台はじめにCannon, Gromov,
and Ripsは独立に（そして
ほぼ同時に）距離空間が双極的である、という概念を与えました。
これらはそれぞれ違ったモチベーションに基づくものであり、一見
したところ違ったもののように見えるにもかかわらず結果的には同
値であることが明らかになります。
Particularly Gromov’s definition is based
on the idea that a
natural geometric invariant of a group is provided by
considering
(metrically) the Cayley graph of a group up to quasi-isometry.
This
created a new branch of geometric group theory: the study
of large scale
geometric invariants.
Gromovはこの時に「群の自然な幾何的不変量はその群のCayle
yグラフのquasi-isometry 類を考察することによって得られる」という
アイデアを提案し、これが契機となって幾何的群論における新しい
研究分野、いわば
large scale の幾何的不変量とでもいうべきもの、
が創生されたのです。
Mikhael Gromov, Hyperbolic groups, from:
Essays in group theory,
Math. Sci. Res. Inst. Publ 8, Springer, New
York (1987) 75--263
Throughout this paper we will have in mind
Rips’ thin triangle
characterization of hyperbolicity, as defined below.
A metric space (X, d_X) is called a
geodesic metric space, if for
each a,b ∈ X there exists a
geodesic segment, which we denote
[a,b] whose length is equal to dX (a, b). The
geodesic segment
need not be unique.
Definition (δ-hyperbolic) A geodesic metric space X is called
δ-hyperbolic if there exists a constant δ so that for each triple
a, b, c ∈ X and each choice of geodesics [a, b], [b, c], and [a, c]
one has
that [a, b] is contained in a δ-neighborhood of the
union
of [a, c] and [b, c].
ではRipsによるthin triangle の概念を用いたδ双極空間の定義を紹介
することにします。
距離空間
(X, d_X) 内の任意の2点 a,b ∈ X に対してそれを結ぶ測地線
（これを[a,b]と書くことにします）が存在するとき(X, d_X)はgeodesic
metric spaceである、と呼ばれます。
定義（δ双極空間）正定数δに対して、geodesic metric space (X, d_X)
がδ双極空間であるとは次の条件が成り立つことである。
任意の三点a, b, c ∈ Xとそれらの対を結ぶ任意のgeodesics
[a, b], [b, c],
[a, c]に対して次が成り立つ。
[a,
b] は[a, c] ∪ [b, c]のδ-近傍に含まれる。（次図）
