Let V_1 cup V_2 be a Heegaard splitting of
M with Heegaard
surface F. Recall that C(F) denotes the curve complex
of F.
Then D(V_i) denotes the maximal subcomplex of C(F) spanned
by curves that
bound disks in V_i.
Then the Hempel distance of the Heegaard
splitting is defined
to be the distance between the subsets D(V_1), and D(V_2)
in
C(F). This concept was introduced by Hempel and it turned out
that this is a
very good measure of Heegaard splitting and the
complexity of the ambient
manifold.
いまHeegaard曲面Fを持つHeegaard 分解V_1 ∪ V_2について考
えます．いまC(F)はFの曲線複体を表していることに注意してくだ
さい．ここでF上の単純閉曲線でV_i内で円盤を貼るものがつくる
C(F)の極大部分複体をD(V_i)と書くことにします．この時Heegaard
分解V_1 ∪ V_2はC(F)における部分集合D(V_1) と D(V_2)の間の
距離として定義されます．この概念はHempelによって導入されたもの
ですが，そのHeegaard 分解や三次元多様体そのものの複雑さをよく
反映する有用な概念であることが明らかになっています．
Next I would like to show you how the
theory of delta
hyperbolic space works for distance of Heegaard splitting.
For that, I would like to introduce the
definition that an isometry
of a delta hyperbolic space to be hyperbolic.
Before giving the
definition I will remind you hyperbolic isometry of
hyperbolic plane.
次にδ双極空間の理論がHeegaard 分解に適用されるのか紹介したい
と思いますがその前に双極平面上の双極的等長写像の動きについて復習
しておきたいと思います．
An isometry h of the hyperbolic plane is
hyperbolic if there
is a geodesic, called axis, which is invariant by h and h
acts
on the axis as a translation. With this characterization in mind,
we give
the definition of hyperbolic isometry of a delta
hyperbolic space.
双極平面上の等長変換 hが双極的なときｈによって不変な測地線
（ｈの軸と呼ぶことにします）が存在しｈはこの軸の上に平行移動と
して作用します．この幾何的な動きを頭においてδ双極的空間の上の
双極的等長写像の定義を与えます．
Let h be an isometry of a delta hyperbolic
space (X, d_X).
Let x be a point in X. Then average
displacement of h, denoted
by alpha (h)
is defined by the limit of the average of distance
between x and h^n(x).
between x and h^n(x).
Then we say that the isometry h is
hyperbolic if alpha (h) is positive.
ｈをδ双極空間(X, d_X)上の等長変換としｘをX内の点とします．この時h
の平均移動距離α（ｈ）をｘとh^n(x)の間の距離をｎで割った長さの極限
として定義します．このα（ｈ）が正の数になるときに「ｈは双極的である」
ということにします．
If h is hyperbolic then it is known that we
can construct a
quasi-geodesic, which plays a role of the axis of hyperbolic
isometry of H^2, as follows.
First take a geodesic between x and h(x),
then take the union
of the geodesic by h^n for all n in Z. It is known that we
have
obtained a line which is quasi-equivalent to a geodesic.
双極的なｈに対しては擬測地線と呼ばれる線（これは双極平面上の
双極変換の軸の役割を果たします）が次のように定義されます．
まずXの任意の点ｘをとり，ｘとh(x)を結ぶ線分[x,h(x)]を取ります．
そしてすべての整数ｎに対して
h^n([x,h(x)] の和集合をとったものが
求める線です．
Further the concept of projection can be
translated to the world
of delta hyperbolic space by using the following
formulation.
さらに「射影」の概念も次のような定式化を使ってδ双極空間の世界に
翻訳することができますので，この写像のことを「擬射影」とよぶこと
にします．
Then by using these materials we can give
the following result,
we will refer as quasi-linear growth, which is a theorem in
the
theory of delta hyperbolic space.
以上の概念を用いてδ双極空間に関する次の結果（「擬線形増加」と呼ぶ
ことにします）示すことができます．
With these concepts in mind, I can state
the upshot of Part 2.
The assumptions of Theorem (Quasi-linear Growth) holds
for
the curve complex C(F) of a Heegaard splitting with D(V_1)
regarded as Y,
and the hyperbolic isometry introduced by h,
provided h is a pseudo-Anosov
homeomorphism satisfying
certain technical conditions. Hence Theorem
(Quasi-linear
Growth) can be rephrased as in the following form.
さて以上の準備のもと，Abrams-SchleimerはHeegaard曲面の
曲線複体C(F) (=X)とD(V_1) (=Y) そしてある技術的仮定（：具体的に
言うとその安定ラミネーションと不安定ラミネーションがV_1のメーザー
領域に含まれない）を擬アノソフ写像ｈ：F→Fに対してに対して上記
の設定が適用出来ることを示しました．その結果上記の「擬線形増加」
の結果に対応するつぎの定理が成り立つことが示せます．
A. Abrams and S. Schleimer, Distances of
Heegaard splittings,
Geom. Topology 9 (2005), 95-119.
Theorem (Quasi-linear Growth of Distance)
Let h be as above. Then there is a constant
K such that the distance
of the Heegaard splitting V_1 cup h^n V_2 is K quasi
equivalent to
the quantity n times average displacement of h.
定理（Heegaard 分解の距離の擬線形増加）
いまhをHeegaard曲面 Fに対する上記のような擬アノソフ写像とする．
この時ある定数Kが存在して次が成り立つ．
任意の正整数nに対してHeegaard 分解 V_1 ∪ h^n V_2 の距離は α(h)×ｎ
にK擬同型である．
